非心 F 分布

定義

非心 χ² 分布と同様、非心 F 分布の確率は、ポアソン確率を重みとして使用した、不完全ベータ関数の加重和として計算されます。

$$F(x|{\nu }_1,{\nu }_2,\delta )={\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left(\frac{{\left(\frac{1}{2}\delta \right)}^j}{j!}{e}^{\frac{-\delta }{2}}\right)}I\left(\frac{{\nu }_1\cdot x}{{\nu }_2+{\nu }_1\cdot x}|\frac{{\nu }_1}{2}+j,\frac{{\nu }_2}{2}\right)$$

I(x|a,b) は、パラメーター a および b をもつ不完全ベータ関数です。δ は非心度パラメーターです。

背景

χ² 分布の場合と同様に、F 分布は、非心 F 分布の特別な場合です。F 分布は、2 つの χ² 分布からの確率変数を各々の自由度で除算したものの比です。

分子の比が、非心度カイ二乗確率変数を自由度で除算した値の比である場合、得られる分布は非心 F 分布になります。

非心 F 分布の主な適用例は、特定の選択肢に関連した仮説検定の度合いの計算です。

例

非心 F 分布確率密度関数の計算

自由度 NU1 = 5 および NU2 = 20 と非心度パラメーター DELTA = 10 を使用して、非心 F 分布の確率密度関数を計算します。比較のため、同じ自由度をもつ F 分布の確率密度関数も計算します。

x = (0.01:0.1:10.01)';
p1 = ncfpdf(x,5,20,10);
p = fpdf(x,5,20);

非心 F 分布の確率密度関数と F 分布の確率密度関数を、同じ Figure にプロットします。

figure;
plot(x,p1,'b-','LineWidth',2)
hold on
plot(x,p,'g--','LineWidth',2)
legend('Noncentral F','F distribution')

参考

ncfcdf | ncfpdf | ncfinv | ncfstat | ncfrnd | random

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