F 分布

定義

F 分布の確率密度関数は、次の式で表されます。

$$y=f\left(x|{\nu }_1,{\nu }_2\right)=\frac{\Gamma \left[\frac{\left({\nu }_1+{\nu }_2\right)}{2}\right]}{\Gamma \left(\frac{{\nu }_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{{\nu }_2}{2}\right)}{\left(\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}\right)}^{\frac{{\nu }_1}{2}}\frac{x^{\frac{{\nu }_1-2}{2}}}{{\left[1+\left(\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}\right)x\right]}^{\frac{{\nu }_1+{\nu }_2}{2}}}$$

ここで、Γ( · ) はガンマ関数です。

背景

"F" 分布は、カイ二乗分布と次の関係があります。χ₁ と χ₂ がそれぞれ ν₁ と ν₂ の自由度をもつカイ二乗であるとすると、統計量 F は次の式で表される F 分布となります。

$$F\left({\nu }_1,{\nu }_2\right)=\frac{\raisebox{1ex}{${\chi }_1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\nu }_1$}\right.}{\raisebox{1ex}{${\chi }_2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\nu }_2$}\right.}$$

2 つのパラメーター ν₁ と ν₂ は、分子と分母の自由度となります。つまり、ν₁ と ν₂ はそれぞれ、χ₁ と χ₂ を計算するために使われる独立した情報の数です。

例

F 分布の確率密度関数の計算

分子の自由度が 5、分母の自由度が 3 の F 分布の確率密度関数を計算します。

x = 0:0.01:10;
y = fpdf(x,5,3);

確率密度関数をプロットします。

figure;
plot(x,y)

次の図は、F 分布が正の実数上で右に歪んでいることを示しています。

参考

fcdf | fpdf | finv | fstat | frnd | random

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