filternorm

デジタル フィルターの 2 ノルムまたは無限大ノルム

構文

L = filternorm(b,a)
L = filternorm(b,a,pnorm)
L = filternorm(b,a,2,tol)


説明

フィルターのノルムは、通常、量子化の影響を抑えるためにデジタル フィルターをスケーリングする際に使用されます。スケーリングを行うと、データをオーバーフローさせずに、フィルターの S/N 比が改善されることがよくあります。また、フィルターのインパルス応答のエネルギーの計算に 2 ノルムを使用することもできます。

L = filternorm(b,a) では、分子係数 b と分母係数 a で定義されるデジタル フィルターの 2 ノルムが計算されます。

L = filternorm(b,a,pnorm) では、デジタル フィルターの 2 ノルムまたは無限大ノルムが計算されます。ここで、pnorm は、2 または inf のいずれかです。

L = filternorm(b,a,2,tol) では、指定許容誤差を tol として、IIR フィルターの 2 ノルムが計算されます。許容誤差は、IIR の 2 ノルムの計算でのみ指定できます。この場合、pnorm は 2 でなければなりません。tol を指定しない場合、既定値の 10^-8 になります。

例

フィルターのノルム

許容誤差を $$10^{-10}$$ として、バタワース IIR フィルターの 2 ノルムを計算します。正規化されたカットオフ周波数 $$0.5\pi$$ rad/s およびフィルター次数 5 を指定します。

[b,a] = butter(5,0.5);
L2 = filternorm(b,a,2,1e-10)

L2 = 0.7071

正規化された遷移幅が $$0.2\pi$$ rad/s で次数 30 の FIR ヒルベルト変換器の無限大ノルムを計算します。

b = firpm(30,[.1 .9],[1 1],'Hilbert');
Linf = filternorm(b,1,inf)

Linf = 1.0028

アルゴリズム

周波数応答 H(e^jω) のフィルターが与えられている場合、1 ≤ p < ∞ の L_p ノルムは以下によって与えられます。

$${\Vert H(e^{j\omega })\Vert }_p={\left(\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{\left|H(e^{j\omega })\right|}^p}d\omega \right)}^{1/p}.$$

p → ∞ の場合、L_∞ ノルムは次のようになります。

$${\Vert H(e^{j\omega })\Vert }_{\infty }=\underset{-\pi \le \omega \le \pi }{\max }\left|H(e^{j\omega })\right|.$$

p = 2 の場合、Parseval の定理により、以下のようになります。

$${\Vert H(e^{j\omega })\Vert }_2={\left(\frac{1}{2\pi }{{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\left|H(e^{j\omega })\right|}}^{2}d\omega \right)}^{1/2}={\left({\displaystyle \sum _n{\left|h(n)\right|}^2}\right)}^{1/2},$$

ここで、h(n) はフィルターのインパルス応答です。インパルス応答のエネルギーは L₂ の 2 乗ノルムとなります。

参考文献

[1] Jackson, L. B. Digital Filters and Signal Processing: with MATLAB Exercises. 3rd Ed. Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1996, Chapter 11.

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

zp2sos | norm