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cfirpm

複素かつ非線形位相の等リップル FIR フィルターの設計

構文

b = cfirpm(n,f,@fresp)
b = cfirpm(n,f,@fresp,w)
b = cfirpm(n,f,a)
b = cfirpm(n,f,a,w)
b = cfirpm(...,'sym')
b = cfirpm(...,'skip_stage2')
b = cfirpm(..., 'debug')
b = cfirpm(...,{lgrid})
[b,delta] = cfirpm(...)
[b,delta,opt] = cfirpm(...)

説明

cfirpm では、複素となる可能性にある FIR フィルターの設計において、任意の周波数領域の制約を指定できますチェビシェフ (またはミニマックス) フィルター誤差が最適化され、等リップル FIR フィルター設計が作成されます。

b = cfirpm(n,f,@fresp) では、関数 fresp によって返される望ましい周波数応答を最も良く近似する長さ n+1 の FIR フィルターが返されます。この関数は、関数ハンドル (@fresp により呼び出されます。f は、-1 ~ 1 の範囲で指定される周波数帯域エッジのペアのベクトルです。ここで、1 は正規化されたナイキスト周波数に対応します。周波数は昇順でなければならず、f は偶数長であることが必要です。周波数帯域は、k が奇数の場合、f(k)f(k+1) の範囲です。つまり奇数 k に対して f(k+1)f(k+2) の区間は遷移帯域、すなわち最適化の "don't care" 領域です。

事前に定義された周波数応答関数 fresp は、以下に述べるとおり、いくつかの一般的なフィルター設計で使用されます。すべての事前定義された周波数応答関数では、f が負の周波数を含まず、かつ d = 0 の場合、対称性を示すオプション 'sym' には既定値の 'even' が使用されます。それ以外の場合、'sym' には既定値の 'none' が使用されます(詳細は、以下の 'sym' オプションの項を参照してください)。すべての事前定義された周波数応答関数では、フィルターの応答がサンプリング区間の単位で n/2+d の群遅延をもつように d によって群遅延オフセットが指定されます。負の値では遅延が減衰し、正の値では遅延が増大します。既定の設定では d = 0 です。

  • @lowpass, @highpass, @allpass, @bandpass, @bandstop

    これらの関数では共通の構文が使用されます。ここでは 'lowpass' の例を示します。

    b = cfirpm(n,f,@lowpass,...)

    b = cfirpm(n,f,{@lowpass,d},...) では、線形位相 (n/2+d 遅延) フィルターを設計します。

      メモ:    @bandpass フィルターでは、周波数ベクトルの最初の要素がゼロ以下で、最後の要素はゼロ以上でなければなりません。

  • @multiband では、任意の帯域振幅をもつ線形位相周波数応答フィルターを設計します。

    b = cfirpm(n,f,{@multiband,a},...)

    b = cfirpm(n,f,{@multiband,a,d},...) では、f の帯域エッジでの希望する振幅を含むベクトル a を指定します。k が奇数の場合、点 f(k) と点 f(k+1) 間の周波数における望ましい振幅は、点 (f(k),a(k)) と点 (f(k+1),a(k+1)) を結ぶライン セグメントとなります。

  • @differentiator では、線形位相微分器を設計します。これらの設計では、ゼロ周波数は遷移帯域内でなければならず、帯域の重み付けは周波数に反比例して設定されます。

    b = cfirpm(n,f,{@differentiator,fs},...)

    b = cfirpm(n,f,{@differentiator,fs,d},...) では、微分器応答の勾配を決定するのに使用されるサンプルレート fs を指定します。指定しなかった場合、fs には既定値の  1 が設定されます。

  • @hilbfilt では、線形位相ヒルベルト変換フィルターの応答を設計します。ヒルベルト設計では、ゼロ周波数は遷移帯域内になければなりません。

    b = cfirpm(n,f,@hilbfilt,...)

    b = cfirpm(N,F,{@hilbfilt,d},...) では、線形位相 (n/2+d 遅延) ヒルベルト変換フィルターを設計します。

  • @invsinc では、線形位相逆 sinc フィルターの応答を設計します。

    b = cfirpm(n,f,{@invsinc,a},...)

    b = cfirpm(n,f,{@invsinc,a,d},...) では、sinc(a*g) として計算された関数 sinc に対するゲイン a が指定されます。ここで、g は範囲 [-1,1] に正規化された最適化グリッド周波数を含むものとします。既定の設定では a=1 です。群遅延オフセットは d です。フィルター応答はサンプル間隔の単位において N/2 + d の群遅延をもちます。ここで、N はフィルターの次数です。負の値では遅延が減少し、正の値では遅延が増大します。既定の設定では d=0 です。

b = cfirpm(n,f,@fresp,w) では、ベクトル w の重みを使用して、各周波数帯域の近似に重み付けが行われます。w の長さは f の長さの半分で、帯域あたり厳密に 1 つの重みに相当します。

b = cfirpm(n,f,a)b = cfirpm(n,f,{@multiband,a}) と同義です。

b = cfirpm(n,f,a,w) では、最適化中にオプションとして使用される、帯域ごとに 1 つの正加重のセットが適用されます。w が指定されない場合、加重は 1 に設定されます。

b = cfirpm(...,'sym') では、設計のインパルス応答に対称的な制約を与えます。ここで、'sym' は、以下のいずれかとなります。

  • 'none' は、対称的な制約なしを示します。負の帯域エッジ周波数が渡された場合、または fresp によって既定値が与えられない場合は、これが既定値になります。

  • 'even' は、実数かつ偶数のインパルス応答を示します。これはハイパス、ローパス、オールパス、バンドパス、バンドストップ、invsinc、およびマルチバンドの設計の場合の既定値です。

  • 'odd' は、実数かつ奇数のインパルス応答を示します。これは、ヒルベルト変換および微分器設計の場合の既定値です。

  • 'real' は、周波数応答に対する共役対称性を示します。

'none' 以外の任意の 'sym' オプションが指定された場合、帯域エッジは正の周波数上にのみ設定します。負の周波数領域は対称性によって埋められます。'sym' オプションが指定されていない場合、既定の設定を確認するために関数 fresp が呼び出されます。ユーザー定義の関数 fresp では、フィルター次数 N として文字列 'defaults' を受け取れば、有効な文字列 'sym' が返されます。

b = cfirpm(...,'skip_stage2') では、cfirpm によって標準の firpm 誤差変換アルゴリズムで最適解が求められなかったと判定された場合にのみ実行される、第 2 段最適化アルゴリズムを無効にします。このアルゴリズムを無効にすると計算速度が向上する場合がありますが、精度が低下する可能性があります。既定の設定では、第 2 段最適化は有効になっています。

b = cfirpm(..., 'debug') では、フィルター設計中に中間結果の表示を可能にします。ここで、'debug' には 'trace''plots''both'、または 'off' のいずれかを設定できます。既定の設定では、'off' が設定されています。

b = cfirpm(...,{lgrid}) では、整数 lgrid を使用して周波数グリッドの密度をコントロールします。グリッドには約 2^nextpow2(lgrid*n) 個の周波数点があります。lgrid の既定値は 25 です。{lgrid} 引数は 1 行 1 列のセル配列であることに注意してください。

'sym''skip_stage2''debug'、および {lgrid} オプションを、任意に組み合わせることができます。

[b,delta] = cfirpm(...) では、最大リップル高 delta が返されます。

[b,delta,opt] = cfirpm(...) では、cfirpm で計算されたオプションの結果の構造 opt が返され、以下のフィールドを含みます。

フィールド

説明

opt.fgrid

フィルター設計の最適化に使用される周波数グリッド ベクトル

opt.des

opt.fgrid の各点に対する望ましい周波数応答

opt.wt

opt.fgrid の各点の重み

opt.H

opt.fgrid の各点に対する実際の周波数応答

opt.error

opt.fgrid 内の各点の誤差

opt.iextr

極値周波数に対する opt.fgrid へのインデックスのベクトル

opt.fextr

極値周波数のベクトル

@fresp に対して事前定義された周波数応答関数の代わりに、ユーザー定義関数を使用することもできます。この関数は、以下の構文を使用して cfirpm 内部から呼び出されます。

[dh,dw] = fresp(n,f,gf,w,p1,p2,...)

ここで、

  • n はフィルター次数です。

  • f は、-1 ~  1 の間で単調増加する周波数帯域エッジのベクトルです。ここで、1 はナイキスト周波数に相当します。

  • gf は、cfirpm によって指定された周波数帯域で線形に内挿されたグリッド点のベクトルです。gf では、応答関数が評価される周波数グリッドが決定されます。これは、cfirpm によって opt 構造の fgrid フィールドに返されるデータと同じです。

  • w は、最適化中に使用される帯域ごとの正で実数の重みのベクトルです。w は、cfirpm を呼び出す際にはオプションです。指定しない場合は、fresp に渡される前に均一の重み付けに設定されます。

  • dhdw は、それぞれ望ましい複素周波数応答と帯域重みのベクトルで、グリッド gf の各周波数で評価されます。

  • p1p2、 ... は、fresp に渡されるオプションのパラメーターです。

さらに、既定の対称性プロパティ 'sym' を決定するために、fresp の予備呼び出しが行われます。この呼び出しは以下の構文で行われます。

sym = fresp('defaults',{n,f,[],w,p1,p2,...})

必要に応じて、適切な対称性の既定設定を決定するために、引数を使用できます。関数 private/lowpass.m は、新しい周波数応答関数を生成する場合のテンプレートとして便利です。

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等リップル ローパス フィルター

31 タップの線形位相ローパス フィルターを設計します。その振幅応答と位相応答を表示します。

b = cfirpm(30,[-1 -0.5 -0.4 0.7 0.8 1],@lowpass);
fvtool(b,1,'OverlayedAnalysis','phase')

オールパス応答に対する FIR 近似

$\exp(-j\pi fN/2+j4\pi f|f|)$ で近似的に設定される周波数応答をもつ、次数 22 の非線形位相オールパス FIR フィルターを設計します。ここで、 $f\in[-1,1]$ とします。

n = 22;                              % Filter order
f = [-1 1];                          % Frequency band edges
w = [1 1];                           % Weights for optimization
gf = linspace(-1,1,256);             % Grid of frequency points
d = exp(-1i*pi*gf*n/2 + 1i*pi*pi*sign(gf).*gf.*gf*(4/pi));
                                     % Desired frequency response

cfirpm を使用して、この FIR フィルターを計算します。実際の振幅応答と近似の振幅応答を dB 単位で、位相応答を度単位でプロットします。

b = cfirpm(n,f,'allpass',w,'real');  % Approximation
freqz(b,1,256,'whole');
subplot(2,1,1); hold on              % Overlay response
plot(pi*(gf+1),20*log10(abs(fftshift(d))),'r--')
subplot(2,1,2); hold on
plot(pi*(gf+1),unwrap(angle(fftshift(d)))*180/pi,'r--')
lg = legend('Approximation','Desired'); set(lg,'location','southwest')

詳細

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アルゴリズム

複素数の場合、Remez 変換法の拡張型が実行されます。この変換法では、フィルターの等リップル特性が n+2 の極をもつように制限されている場合に、最適なフィルターが得られます。このフィルターが収束しない場合は、アルゴリズムが上昇-下降アルゴリズムに切り替わり、最適な解に収束するように処理が行われます。詳細については、参考文献を参照してください。

参考文献

[1] Karam, L.J., and J.H. McClellan. “Complex Chebyshev Approximation for FIR Filter Design.” IEEE® Trans. on Circuits and Systems II,March 1995. Pgs. 207-216.

[2] Karam, L.J. Design of Complex Digital FIR Filters in the Chebyshev Sense, Ph.D. Thesis, Georgia Institute of Technology, March 1995.

[3] Demjanjov, V.F., and V.N. Malozemov. Introduction to Minimax, New York: John Wiley & Sons, 1974.

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