ベクトルと行列の目的関数の記述

ベクトルと行列の目的関数とは

fsolve や lsqcurvefit などいくつかのソルバーは、ベクトルまたは行列の目的関数をもつことができます。これらの種類の目的関数とスカラーの目的関数の使用法に関する主な相違点は、導関数の記述方法です。ベクトル値または行列値関数の 1 次の偏導関数はヤコビアンと呼ばれます。スカラー関数の 1 次の偏導関数は勾配と呼ばれます。

複素数値の目的関数の詳細については、Optimization Toolbox ソルバーの複素数を参照してください。

ベクトル関数のヤコビアン

x が独立変数のベクトルで F(x) がベクトル関数の場合、ヤコビアン J(x) は次のように定義されます。

$$J_{ij}(x)=\frac{\partial F_i(x)}{\partial x_j}.$$

F が m 個の成分をもち、x が k 個の成分をもつ場合、J は m 行 k 列の行列です。

たとえば、

$$F(x)=\left[\begin{array}{c}{x}_1^2+x_2{x}_3\\ \sin \left(x_1+2x_2-3x_3\right)\end{array}\right],$$

の場合、J(x) は以下になります。

$$J(x)=\left[\begin{array}{ccc}2x_1& x_3& x_2\\ \cos \left(x_1+2x_2-3x_3\right)& 2\cos \left(x_1+2x_2-3x_3\right)& -3\cos \left(x_1+2x_2-3x_3\right)\end{array}\right].$$

この例に関連付けられる関数ファイルは次のようになります。

function [F jacF] = vectorObjective(x)
F = [x(1)^2 + x(2)*x(3);
    sin(x(1) + 2*x(2) - 3*x(3))];
if nargout > 1 % need Jacobian
    jacF = [2*x(1),x(3),x(2);
        cos(x(1)+2*x(2)-3*x(3)),2*cos(x(1)+2*x(2)-3*x(3)), ...
        -3*cos(x(1)+2*x(2)-3*x(3))];
end

目的関数にヤコビアンが含まれていることをソルバーに示すには、SpecifyObjectiveGradient オプションを true に設定します。以下に例を示します。

options = optimoptions('lsqnonlin','SpecifyObjectiveGradient',true);

行列関数のヤコビアン

行列 F(x) のヤコビアンを定義するには、列ごとに行列をベクトルに変更します。たとえば、行列

$$F=\left[\begin{array}{cc}{F}_{11}& F_{12}\\ F_{21}& F_{22}\\ F_{31}& F_{32}\end{array}\right]$$

をベクトル f として書き直します。

$$f=\left[\begin{array}{c}{F}_{11}\\ F_{21}\\ F_{31}\\ F_{12}\\ F_{22}\\ F_{32}\end{array}\right].$$

F のヤコビアンは f のヤコビアン単位で定義されます。

$$J_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}.$$

F が m 行 n 列の行列であり、x が k 個の成分をもつベクトルの場合、ヤコビアンは mn 行 k 列の行列となります。

たとえば次の場合、

$$F(x)=\left[\begin{array}{cc}{x}_1{x}_2& x_1^3+3x_2^2\\ 5x_2-x_1^4& x_2/x_1\\ 4-x_2^2& x_1^3-x_2^4\end{array}\right],$$

F のヤコビアンは次のようになります。

$$J(x)=\left[\begin{array}{cc}{x}_2& x_1\\ -4x_1^3& 5\\ 0& -2x_2\\ 3x_1^2& 6x_2\\ -x_2/x_1^2& 1/x_1\\ 3x_1^2& -4x_2^3\end{array}\right].$$

行列値の独立変数をもつヤコビアン

x が行列の場合は、列ごとに x をベクトルに変更して F(x) のヤコビアンを定義します。たとえば、次の場合、

$$X=\left[\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{21}& x_{22}\end{array}\right],$$

勾配は以下のベクトル単位で定義されます。

$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_{11}\\ x_{21}\\ x_{12}\\ x_{22}\end{array}\right].$$

$$F=\left[\begin{array}{cc}{F}_{11}& F_{12}\\ F_{21}& F_{22}\\ F_{31}& F_{32}\end{array}\right],$$

で、f が F のベクトルの形式で与えられているとき、F(X) のヤコビアンは f(x) のヤコビアンとして定義されます。

$$J_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}.$$

したがって、たとえば、次のようになります。

$$J(3,2)=\frac{\partial f(3)}{\partial x(2)}=\frac{\partial F_{31}}{\partial X_{21}},\text{ and }J(5,4)=\frac{\partial f(5)}{\partial x(4)}=\frac{\partial F_{22}}{\partial X_{22}}.$$

F が m 行 n 列の行列であり、x が j 行 k 列の行列の場合、ヤコビアンは mn 行 jk 列の行列になります。

関連するトピック

• 勾配またはヤコビアンの有効性を確認