mtimes, *

行列乗算

構文

C = A*B

C = mtimes(A,B)

説明

C = A*B は A と B の行列積です。A が m 行 p 列の行列で B が p 行 n 列の行列の場合、C は次で定義される m 行 n 列の行列になります。

$$C(i,j)={\displaystyle \sum _{k=1}^{p}A}(i,k)B(k,j).$$

この定義は、C(i,j) が A の i 行目と B の j 列目の内積であることを示します。この定義を MATLAB^® コロン演算子を使用して以下のように記述できます。

C(i,j) = A(i,:)*B(:,j)

非スカラーの A と B に対しては、A の列数は B の行数と等しくなる必要があります。非スカラー入力の場合、行列乗算は必ずしも可換では "ありません"。つまり、A*B は一般的に B*A と等価ではありません。少なくとも 1 つの入力がスカラーの場合、A*B は A.*B と等価であり、可換です。

C = mtimes(A,B) は A*B の代替方法として実行できますが、まれにしか使われません。これにより、クラスの演算子のオーバーロードが可能です。

例

2 つのベクトルの乗算

1 行 4 列の行ベクトル A と 4 行 1 列の列ベクトル B を作成します。

A = [1 1 0 0];
B = [1; 2; 3; 4];

A と B の乗算を行います。

C = A*B

C = 3

結果は 1 行 1 列のスカラーであり、ベクトル A および B の "ドット積" または "内積" とも呼ばれます。ドット積 $$A\cdot B$$ は、代わりに構文 dot(A,B) を使用して計算することもできます。

B と A の乗算を行います。

C = B*A

C = 4×4

     1     1     0     0
     2     2     0     0
     3     3     0     0
     4     4     0     0

結果は 4 行 4 列の行列であり、ベクトル A と B の "外積" とも呼ばれます。2 つのベクトルの外積 $$A\otimes B$$ は、行列を返します。

2 つの配列の乗算

2 つの配列 A および B を作成します。

A = [1 3 5; 2 4 7];
B = [-5 8 11; 3 9 21; 4 0 8];

A と B の積を計算します。

C = A*B

C = 2×3

    24    35   114
    30    52   162

A の 2 番目の行と B の 3 番目の列の内積を計算します。

A(2,:)*B(:,3)

ans = 162

この解は、C(2,3) と同じです。

入力引数

A, B — オペランド

スカラー | ベクトル | 行列

オペランド。スカラー、ベクトルまたは行列として指定します。

• 少なくとも 1 つの入力がスカラーの場合、A*B は A.*B と等価です。この場合、非スカラー配列は任意のサイズにすることができます。

• 非スカラー入力の場合、A および B は 2 次元配列でなければなりません。その際、A の列数は B の行数と等しくなければなりません。

• A または B のいずれかが整数クラス (int16、uint8、…) の場合、もう一方の入力はスカラーでなければなりません。整数データ型のオペランドは、複素数にできません。

データ型: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | logical | char | duration | calendarDuration
複素数のサポート: あり

出力引数

C — 積

スカラー | ベクトル | 行列

積。スカラー、ベクトルまたは行列として返されます。配列 C の行数は入力 A と同じであり、列数は入力 B と同じです。たとえば、A が m 行 0 列の空行列で B が 0 行 n 列の空行列の場合、A*B は要素がゼロである m 行 n 列の行列になります。

ヒント

• A*B*C のような連鎖行列積の場合、かっこを使用して演算順序を指定することにより、実行時間を向上できることがあります。3 つの行列の乗算 A*B*C を考えます。ここで、A は 500 行 2 列、B は 2 行 500 列、C は 500 行 2 列です。

  • かっこがない場合演算の順序は左から右であるため、まず A*B が計算され、500 行 500 列の行列になります。次に、この行列に C が乗算され、500 行 2 列の結果が得られます。

  • 代わりに A*(B*C) を指定した場合、まず B*C の乗算が実行され、2 行 2 列の行列が得られます。次に、この小さい行列が A と乗算され、同じ 500 行 2 列の結果が得られますが、演算が少なくなり、中間のメモリ使用量も少なくなります。

参照

[1] “BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms).” Accessed July 18, 2022. https://netlib.org/blas/.

[2] Davis, Timothy A. “Algorithm 1000: SuiteSparse:GraphBLAS: Graph Algorithms in the Language of Sparse Linear Algebra.” ACM Transactions on Mathematical Software 45, no. 4 (December 31, 2019): 1–25. https://doi.org/10.1145/3322125.

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

この関数は tall 配列を制限付きでサポートしています。

• A と B のどちらも tall 配列である A*B の場合、どちらか一方がスカラーでなければなりません。

• A'*B の場合、A と B の両方が、最初の次元のサイズが共通の tall ベクトルまたは行列でなければなりません。

詳細については、tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• 純粋な虚数と非有限数の乗算は MATLAB と一致しない場合があります。コード ジェネレーターは純粋な虚数による乗算を特別扱いしません。実数部がゼロの数値との計算を排除しません。たとえば、(Inf + 1i)*1i = (Inf*0 – 1*1) + (Inf*1 + 1*0)i = NaN + Infi のようになります。

• ツールボックス関数のコード生成に対する可変サイズの制限 (MATLAB Coder)を参照してください。

GPU コード生成

GPU Coder™ を使用して NVIDIA® GPU のための CUDA® コードを生成します。

使用上の注意事項および制限事項:

• 純粋な虚数と非有限数の乗算は MATLAB と一致しない場合があります。コード ジェネレーターは純粋な虚数による乗算を特別扱いしません。実数部がゼロの数値との計算を排除しません。たとえば、(Inf + 1i)*1i = (Inf*0 – 1*1) + (Inf*1 + 1*0)i = NaN + Infi のようになります。

HDL コード生成
HDL Coder™ を使用して FPGA 設計および ASIC 設計のための VHDL、Verilog および SystemVerilog のコードを生成します。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

使用上の注意事項および制限事項:

• 64 ビット整数はサポートされません。

詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

分散配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用して、クラスターの結合メモリ上で大きなアレイを分割します。

この関数は分散配列を完全にサポートしています。詳細については、分散配列を使用した MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2022a: スパース行列と非スパース行列を乗算する際のパフォーマンス向上

次の場合の行列乗算でパフォーマンスが向上しています。

• オペランドの一方がスパース行列で、他方が非スパース行列である場合。

• スパース オペランドに少なくとも 5 万個の非ゼロ要素がある場合。

• 非スパース オペランドに少なくとも 32 列 (または、転置されているときは少なくとも 32 行) がある場合。

パフォーマンスの向上は、演算でのマルチスレディングに対する追加サポートによるものであり、したがって、行列のサイズや非ゼロ要素の数が増えるにつれ高速化が進みます。

たとえば、6 個の物理コアが搭載されたマシンで 102,400 行 102,400 列のスパース行列を 102,400 行 128 列の非スパース行列と乗算すると、以前のリリースより約 2.7 倍高速になります。

function timingSparseDenseMult
A = delsq(numgrid('S',322));
B = rand(size(A,2),128);
tic
for k = 1:10
    C = A*B;
end
toc
end

おおよその実行時間は以下のとおりです。

R2021b: 0.8 秒

R2022a: 0.3 秒

このコードの時間測定では、Windows^® 10、Intel^® Xeon^® CPU W-2133 (3.60 GHz) 搭載のテスト システムで、関数 timingSparseDenseMult を呼び出しました。

参考

colon | times | dot | cross | pagemtimes | tensorprod

トピック

• 配列と行列の演算
• 演算子の優先順位
• MATLAB の演算子と特殊文字