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funm

一般的な行列関数の計算

構文

F = funm(A,fun)
F = funm(A,fun,options)
F = funm(A,fun,options,p1,p2,...)
[F,exitflag] = funm(...)
[F,exitflag,output] = funm(...)

説明

F = funm(A,fun) は、ユーザー定義の関数 fun を正方行列の引数 A において評価します。F = fun(x,k) はベクトル x と整数 k を受け取り、x と同じサイズのベクトル f を返さなければなりません。ここで、f(i) は、x(i) で評価された関数 funk 番目の導関数です。fun で表される関数は、収束半径が無限大のテイラー級数をもつ必要があります。ただし、fun = @log の場合を除きます。これは、特殊なケースとして扱われます。

関数 funm を使用して、次の表に一覧表示された特殊な関数を行列 A で評価することもできます。

関数

関数を行列 A で評価するための構文

exp

funm(A, @exp)

log

funm(A, @log)

sin

funm(A, @sin)

cos

funm(A, @cos)

sinh

funm(A, @sinh)

cosh

funm(A, @cosh)

行列平方根の場合には、代わりに sqrtm(A) を使用します。行列指数の場合、関数 expm(A) または関数 funm(A, @exp) のいずれが正確かは、行列 A に依存します。

fun で表される関数は、収束半径が無限大のテイラー級数をもつ必要があります。例外は @log で、特殊なケースとして扱われます。必要な場合は、関数 fun に追加パラメーターを提供する方法が「関数のパラメーター化」に記載されています。

F = funm(A,fun,options) は、アルゴリズムのパラメーターを options 構造体の値に設定します。

次の表に、options のフィールドの一覧を示します。

フィールド

説明

options.Display

表示のレベル

'off' (既定の設定)、'on''verbose'

options.TolBlk

Schur 型のブロックに対する許容誤差

正のスカラー。既定値は 0.1です。

options.TolTay

対角ブロックのテイラー級数を評価するための終了許容誤差

正のスカラー。既定値は eps です。

options.MaxTerms

テイラー級数の最大項数

正の整数。既定値は 250です。

options.MaxSqrt

アルゴリズムの計算において、逆スケーリングと二乗法で計算された平方根の最大数

正の整数。既定値は 100です。

options.Ord

Schur 型 T の順序を指定します。

長さが length(A) のベクトル。options.Ord(i)T(i,i) が配置されるブロックのインデックスです。既定値は [] です。

F = funm(A,fun,options,p1,p2,...) は、余分の入力 p1,p2,... を関数に渡します。

[F,exitflag] = funm(...) は、関数 funm の終了条件を記述するスカラー exitflag を返します。引数 exitflag は次の値を取ります。

  • 0 — アルゴリズムは成功しました。

  • 1 — 1 つまたは複数のテイラー級数が収束しなかった、または、対数の場合は、必要な行列の平方根が多すぎたことを示します。ただし、その場合にも F の値は正しく計算されている可能性があります。

[F,exitflag,output] = funm(...) は、以下のフィールドをもつ構造体 output を出力します。

フィールド

説明

output.terms

output.terms(i)i 番目のブロックの評価に使用する際のテイラー級数の項数となるベクトル、または対数の場合には、2 より大きい次元の行列の平方根の数

output.ind

並べ替えられた Schur 係数 T(i,j) ブロックが T(output.ind{i}, output.ind{j}) となるセル配列

output.ord

Schur 型が関数 ordschur に渡されるときの順序

output.T

並べ替えた Schur 型

Schur が対角行列の場合、output = struct('terms',ones(n,1),'ind',{1:n}) となります。

例 1

次のコマンドは、3 行 3 列の魔方陣行列の正弦値を計算します。

F=funm(magic(3), @sin)

F =

   -0.3850    1.0191    0.0162
    0.6179    0.2168   -0.1844
    0.4173   -0.5856    0.8185

例 2

ステートメント

S = funm(X,@sin);
C = funm(X,@cos);

は、丸め誤差の範囲内で以下の場合と同じ結果を出力します。

E = expm(i*X);
C = real(E);
S = imag(E);

いずれの場合も結果は S*S+C*C = I を満たします。ここで、I = eye(size(X)) です。

例 3

A における関数 exp(x) + cos(x) を 1 回の関数 funm の呼び出しで計算する方法は以下のとおりです。

F = funm(A,@fun_expcos)

ここで、fun_expcos は次の関数です。

function f = fun_expcos(x, k)
% Return kth derivative of exp + cos at X.
        g = mod(ceil(k/2),2);
        if mod(k,2)
           f = exp(x) + sin(x)*(-1)^g;
        else
           f = exp(x) + cos(x)*(-1)^g;
        end	

詳細

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アルゴリズム

関数 funm のアルゴリズムは[1]に記述されています。

参照

[1] Davies, P. I. and N. J. Higham, “A Schur-Parlett algorithm for computing matrix functions,” SIAM J. Matrix Anal. Appl., Vol. 25, Number 2, pp. 464-485, 2003.

[2] Golub, G. H. and C. F. Van Loan, Matrix Computation, Third Edition, Johns Hopkins University Press, 1996, p. 384.

[3] Moler, C. B. and C. F. Van Loan, “Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later” SIAM Review 20, Vol. 45, Number 1, pp. 1-47, 2003.

参考

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R2006a より前に導入

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