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bessely

第 2 種ベッセル関数

構文

Y = bessely(nu,Z)
Y = bessely(nu,Z,1)

定義

以下の微分方程式

z2d2ydz2+zdydz+(z2ν2)y=0,

は、"ベッセル方程式" と呼ばれ、その解は "ベッセル関数" として知られています。ここで、ν は実数の定数です。

第二種の解 Yν(z) は、以下のように表すことができます。

Yν(z)=Jν(z)cos(νπ)Jν(z)sin(νπ)

ここで、Jν(z) および J–ν(z) は、整数でない ν に対するベッセル方程式の基本解を形成します。

Jv(z)=(z2)νk=0(z24)kk!Γ(ν+k+1),

Γ(a) はガンマ関数です。Yν(z) は、Jν(z) とは線形独立しています。

Jν(z) は、関数 besselj を使用して計算できます。

説明

Y = bessely(nu,Z) は、配列 Z の各要素について第 2 種ベッセル関数 Yν(z) を計算します。次数 nu は、整数である必要はありませんが、実数でなければなりません。引数 Z には複素数も指定できます。Z が正の場合、結果は実数になります。

nuZ が同じサイズの配列である場合、結果も同じサイズになります。いずれかの入力がスカラーである場合には、もう一方の入力のサイズに合わせて拡張されます。

Y = bessely(nu,Z,1)bessely(nu,Z).*exp(-abs(imag(Z))) を計算します。

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定義域値の列ベクトルを作成します。

z = (0:0.2:1)';

besselynu = 1 を指定して、関数の値を計算します。

bessely(1,z)
ans =

      -Inf
   -3.3238
   -1.7809
   -1.2604
   -0.9781
   -0.7812

領域を定義します。

X = 0:0.1:20;

最初の 5 つの第 2 種ベッセル関数を計算します。

Y = zeros(5,201);
for i = 0:4
    Y(i+1,:) = bessely(i,X);
end

結果をプロットします。

plot(X,Y,'LineWidth',1.5)
axis([-0.1 20.2 -2 0.6])
grid on
legend('Y_0','Y_1','Y_2','Y_3','Y_4','Location','Best')
title('Bessel Functions of the Second Kind for v = 0,1,2,3,4')
xlabel('X')
ylabel('Y_v(X)')

詳細

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ヒント

ベッセル関数は、第 3 種ベッセル関数とも呼ばれるハンケル関数と密接な関係があります。

Hν(1)(z)=Jν(z)+iYν(z)Hν(2)(z)=Jν(z)iYν(z),

ここで、Hν(K)(z)besselh、Jν(z) は besselj、Yν(z) は bessely です。ハンケル関数も、ベッセル方程式の基本解を形成します (「besselh」を参照)。

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