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besselj

第 1 種ベッセル関数

構文

J = besselj(nu,Z)
J = besselj(nu,Z,1)

定義

以下の微分方程式

z2d2ydz2+zdydz+(z2ν2)y=0,

は、"ベッセル方程式" と呼ばれ、その解は "ベッセル関数" として知られています。ここで、ν は実数の定数です。

Jν(z) および J–ν(z) は、整数でない ν に対するベッセル方程式の基本解を形成します。Jν(z) は以下のように定義されます。

Jν(z)=(z2)ν(k=0)(z24)kk!Γ(ν+k+1)

ここで、Γ(a) はガンマ関数です。

Yν(z) は、Jν(z) とは線形独立しているベッセル方程式の第 2 種の解です。これは関数 bessely を使用して計算できます。

説明

J = besselj(nu,Z) は、配列 Z の各要素について第 1 種ベッセル関数 Jν(z) を計算します。次数 nu は、整数である必要はありませんが、実数でなければなりません。引数 Z には複素数も指定できます。Z が正の場合、結果は実数になります。

nuZ が同じサイズの配列である場合、結果も同じサイズになります。いずれかの入力がスカラーである場合には、もう一方の入力のサイズに合わせて拡張されます。

J = besselj(nu,Z,1)besselj(nu,Z).*exp(-abs(imag(Z))) を計算します。

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定義域値の列ベクトルを作成します。

z = (0:0.2:1)';

besseljnu = 1 を指定して、関数の値を計算します。

besselj(1,z)
ans =

         0
    0.0995
    0.1960
    0.2867
    0.3688
    0.4401

領域を定義します。

X = 0:0.1:20;

最初の 5 つの第 1 種ベッセル関数を計算します。

J = zeros(5,201);
for i = 0:4
    J(i+1,:) = besselj(i,X);
end

結果をプロットします。

plot(X,J,'LineWidth',1.5)
axis([0 20 -.5 1])
grid on
legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','Location','Best')
title('Bessel Functions of the First Kind for v = 0,1,2,3,4')
xlabel('X')
ylabel('J_v(X)')

詳細

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ヒント

ベッセル関数は、第 3 種ベッセル関数とも呼ばれるハンケル関数と、次の式で表されるような関係があります。

Hν(1)(z)=Jν(z)+iYν(z)Hν(2)(z)=Jν(z)iYν(z)

ここで、Hν(K)(z)besselh、Jν(z) は besselj、Yν(z) は bessely です。ハンケル関数も、ベッセル方程式の基本解を形成します (「besselh」を参照)。

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