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besselh

第 3 種ベッセル関数 (ハンケル関数)

構文

H = besselh(nu,K,Z)
H = besselh(nu,Z)
H = besselh(nu,K,Z,1)

定義

以下の微分方程式

z2d2ydz2+zdydz+(z2ν2)y=0,

ν は、"ベッセル方程式" と呼ばれ、その解は "ベッセル関数" として知られています。Jν(z) および J–ν(z) は、整数でない ν に対するベッセル方程式の基本解を形成します。Yν(z) はベッセル方程式の第 2 種の解で (Jν(z) とは線形独立) 以下のように定義されます。

Yν(z)=Jν(z)cos(νπ)Jν(z)sin(νπ).

ハンケル関数とベッセル関数の関係は次のようになります。

Hν(1)(z)=Jν(z)+iYν(z)Hν(2)(z)=Jν(z)iYν(z),

ここで、Jν(z) は besselj、Yν(z) は bessely です。

説明

H = besselh(nu,K,Z) は、ハンケル関数 Hν(K)(z) を算出します。ここで、複素数配列 Z の各要素について K = 1 または 2 となります。nuZ が同じサイズの配列である場合、結果も同じサイズになります。入力のいずれかがスカラーの場合、関数 besselh は、その値をもう一方の入力と同じサイズに拡張して取り扱います。

H = besselh(nu,Z)K = 1 を使用します。

H = besselh(nu,K,Z,1) は、K = 1 の場合、Hν(K)(z)exp(-i*Z) によってスケーリングし、K = 2 の場合、exp(+i*Z) によってスケーリングします。

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ハンケル関数の位相と係数

この例では、Abramowitz と Stegun の『Handbook of Mathematical Functions』 [1] の 359 ページに記載された、ハンケル関数 $H_0^{(1)}(z)$ の位相と係数の等高線図を生成します。

この定義域で値のグリッドを作成します。

[X,Y] = meshgrid(-4:0.025:2,-1.5:0.025:1.5);

この定義域でハンケル関数を計算し、絶対値等高線図を作成します。

H = besselh(0,1,X+1i*Y);
contour(X,Y,abs(H),0:0.2:3.2)
hold on

同じ Figure に位相による等高線図を追加します。

contour(X,Y,(180/pi)*angle(H),-180:10:180)
hold off

参照

[1] Abramowitz, M., and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55, Dover Publications, 1965.

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