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指数関数のグラフィカルな比較
次の例は、 が より大きいかどうかを検出するための興味深いグラフィカルなアプローチを示します。
問題: と はどちらが大きいでしょうか。これを知る簡単な方法は、MATLAB® コマンド プロンプト上で直接これを入力してみることです。ですが、この状況を解析する別の方法は、より一般的な質問をすることです。関数 はどのような形状でしょうか。
のプロットを行います。
% Define the mesh x = 0:0.16:5; y = 0:0.16:5; [xx,yy] = meshgrid(x,y); % The plot zz = xx.^yy-yy.^xx; h = surf(x,y,zz); h.EdgeColor = [0.7 0.7 0.7]; view(20,50); colormap(hsv); title('$z = x^y-y^x$','Interpreter','latex') xlabel('x') ylabel('y') hold on
方程式 の解はとても面白い形状であり、元々の問題は見ただけでは簡単に解けないことがわかります。 になる xy の値をプロットします。
c = contourc(x,y,zz,[0 0]); list1Len = c(2,1); xContour = [c(1,2:1+list1Len) NaN c(1,3+list1Len:size(c,2))]; yContour = [c(2,2:1+list1Len) NaN c(2,3+list1Len:size(c,2))]; % Note that the NAN above prevents the end of the first contour line from being % connected to the beginning of the second line line(xContour,yContour,'Color','k');
黒色の曲線に沿った x と y の一部の組み合わせは整数です。この次のプロットは、方程式 に対する整数の解です。 は、 の場合の "唯一の" 整数解となります。
plot([0:5 2 4],[0:5 4 2],'r.','MarkerSize',25);
最後に、表面上に点 および をプロットします。この結果から、 は よりも (それほどではありませんが) 大きいことがわかります。
e = exp(1); plot([e pi],[pi e],'r.','MarkerSize',25); plot([e pi],[pi e],'y.','MarkerSize',10); text(e,3.3,'(e,pi)','Color','k', ... 'HorizontalAlignment','left','VerticalAlignment','bottom'); text(3.3,e,'(pi,e)','Color','k','HorizontalAlignment','left',... 'VerticalAlignment','bottom'); hold off;
結果を確認します。
e = exp(1); e^pi
ans = 23.1407
pi^e
ans = 22.4592