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不等式を解くためのグラフィカルなアプローチ

この例では、e^pi が pi^e よりも大きいかどうかを確認するための興味深いグラフィカルなアプローチを示します。

問題:e^pi と pi^e はどちらが大きいでしょうか。これを知る簡単な方法は、MATLAB® コマンド プロンプト上で直接これを入力してみることです。しかし、これはもっと興味深い問題を考えるきっかけとなります。関数 z = x^y-y^x はどのような形状でしょうか。z のプロットを行います。

% Define the mesh
x = 0:0.16:5;
y = 0:0.16:5;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);

% The plot
zz = xx.^yy-yy.^xx;
h = surf(x,y,zz);

% Set the properties of the plot
h.EdgeColor = [0.7 0.7 0.7];
view(20,50);
colormap(hsv);
title('z = x^y-y^x');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold on;

方程式 x^y-y^x = 0 の解は、とても面白い形状になることがわかります。e と pi 付近で興味深いことが起きているため、元々の問題は見ただけでは簡単に解けないことがわかります。この図では、その方程式のプロットを黒で表しています。

c = contourc(x,y,zz,[0 0]);
list1Len = c(2,1);
xContour = [c(1,2:1+list1Len) NaN c(1,3+list1Len:size(c,2))];
yContour = [c(2,2:1+list1Len) NaN c(2,3+list1Len:size(c,2))];
% Note that the NAN above prevents the end of the first contour line from being
% connected to the beginning of the second line
line(xContour,yContour,'Color','k');

これは、方程式 x^y-y^x = 0 の整数解を表したプロットです。x ~= y の場合、2^4 = 4^2 が唯一の整数解となります。ここで、x^y = y^x の位置を定義する 2 つの曲線の交点は何を表すでしょうか。

plot([0:5 2 4],[0:5 4 2],'r.','MarkerSize',25);

最終的に、図の表面上にこれらの点をプロットすることによって、e^pi が pi^e よりも (それほどではありませんが) 大きいことがわかります。

e = exp(1);
plot([e pi],[pi e],'r.','MarkerSize',25);
plot([e pi],[pi e],'y.','MarkerSize',10);
text(e,3.3,'(e,pi)','Color','k', ...
   'HorizontalAlignment','left','VerticalAlignment','bottom');
text(3.3,e,'(pi,e)','Color','k','HorizontalAlignment','left',...
   'VerticalAlignment','bottom');
hold off;

この事実を確認しましょう。

e = exp(1);
e^pi
pi^e
ans =

   23.1407


ans =

   22.4592

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