多変量と有理スプライン

多変量スプライン

多変量スプラインは、テンソル積の構成により一変量スプラインから取得することができます。たとえば、B 型の 3 変数スプラインは、次によって与えられます。

$$f\left(x,y,z\right)={\displaystyle \sum _{u=1}^U{\displaystyle \sum _{v=1}^V{\displaystyle \sum _{w=1}^W{B}_{u,k}\left(x\right)B_{v,l}\left(y\right)B_{w,m}\left(z\right)a_{u,v,w}}}}$$

B_u,k,B_v,l,B_w,m は一変量 B スプラインです。それに応じて、このスプラインは x で次数 k、y で次数 l、z で次数 m となります。同様に、pp 型のテンソル積スプラインは、それぞれの変数および (それにより指定された各超四角形の) 係数配列のブレーク シーケンスによって指定されます。さらに、一変量の場合と同様に、係数はベクトル (通常は 2 ベクトルまたは 3 ベクトル) となり、ℜ³ での特定の曲面などの表示を可能にします。

大きく異なる二変量スプラインは、"薄板スプライン" です。これは、次の形式の関数です。

$$f\left(x\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^{n-3}\Psi \left(x-c_j\right)a_j+x\left(1\right)a_{n-2}+x\left(2\right)a_{n-1}+a_n}$$

ψ(x)=|x|²log|x|² は薄板スプライン基底関数で、|x| はベクトル x のユークリッド長を示します。ここでは、便宜上、x によって独立変数を示していますが、x は現在 "ベクトル" で x(1) と x(2) の 2 つの成分をもち、前出の x と y の 2 つの独立変数の役割を果たします。それに応じて、サイト c_j は ℜ² 内の点です。

薄板スプラインは、二変量 "平滑化スプライン" として発生します。つまり、薄板スプラインは、

$$p{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-3}\left|y_i-f{c}_i{}^2\right|+\left(1-p\right){\displaystyle \int \left({\left|D_1{D}_{1}f\right|}^2+2{\left|D_1{D}_{2}f\right|}^2+{\left|D_2{D}_{2}f\right|}^2\right)}}$$

すべての十分に平滑化された関数 f において上記を最小化します。ここで、y_i はデータ サイト c_i で与えられたデータ値、p は平滑化パラメーター、およびD_jf は x(j) に関する f の偏導関数を示しています。ℜ² 全体に対して積分が計算されます。和の上限 n–3 は、薄板スプラインの自由度 3 が多項式の部分に関連付けられているという事実を反映しています。

薄板スプラインは st 型の関数です。つまり、最大で特定の多項式の項数までの、1 つの固定関数 Ψ の任意または scattered translates 型の Ψ(· -c) の重み付き和となります。いわゆる薄板スプラインの基底関数は、放射対称性がある点で特殊です。つまり、Ψ(x) は x のユークリッド長 |x| のみに依存しています。そのため、薄板スプラインは RBF (放射基底関数) とも呼ばれています。詳細については、st 型スプラインの作成と操作 を参照してください。

有理スプライン

"有理スプライン" は、形式r(x) = s(x)/w(x) の関数です。s と w はどちらもスプラインで、特に w はスカラー値スプラインですが、s は通常、ベクトル値です。

有理スプラインは、有理スプラインの範囲どおりに、円錐曲線などのさまざまな基本的な幾何学的形状を記述できるため、効果的です。たとえば、円は 2 つの区分をもつ 2 次有理スプラインで記述できます。

このツールボックスには、s と w が同じ型で同じ次数であり、同じ節点またはブレーク シーケンスをもっていなければならないという追加の要件があります。これによって、有理スプライン r を、x の値がベクトル [s(x);w(x)] の通常のスプライン R として保存できます。2 つのスプラインが B 型か pp 型かに応じて、ここではこのような有理スプラインの表現を rB 型または rp 型と呼んでいます。

r は R から容易に取得できます。たとえば、v が x での R の値である場合、v(1:end-1)/v(end) は x での r の値です。別の例として、R の導関数から r の導関数を取得することを考えます。s = wr であるため、ライプニッツのルールから次のことがわかります。

$$D^{m}s={\displaystyle \sum _{j=0}^m\left(\begin{array}{c}m\\ j\end{array}\right)D^{j}w{D}^{m-j}r}$$

ここで、D^ms は s の m 階微分です。

そのため、v(:,j) に D^j–1R(x), j = 1...m + 1 が含まれる場合

$$\left(\left(\left(v(1:\text{end}-1,m+1\right)-{\displaystyle \sum _{j=1}^m\left(\begin{array}{c}m\\ j\end{array}\right)v(\text{end},j+1)v(1:\text{end}-1,j+1)}\right)/v(\text{end},1)\right)$$

は、D^mR(x) の値を提供します。

関連するトピック

• 有理スプラインの作成と操作