B 型スプラインと平滑化スプライン

次数が k で、非減少の節点シーケンス $$t=(t_0,t_1,\dots ,t_n)$$ をもつ j 番目の B スプライン $$B_{j,k}\left(x\right)$$ の Cox-de Boor 再帰定義は、以下の式で与えられます。

$$\begin{array}{l}{B}_{j,1}(x)=\{\begin{array}{cc}1& t_j\le x<t_{j+1}\\ 0& x<t_j,t_{j+1}\le x\end{array}\\ B_{j,k+1}(x)=\frac{x-t_j}{t_{j+k-1}-t_j}{B}_{j,k-1}\left(x\right)+\frac{t_{j+k}-x}{t_{j+k}-t_{j+1}}{B}_{j+1,k-1}\left(x\right)\end{array}$$

bspligui インターフェイスのリファレンス ページには、B スプラインの基本プロパティが一覧表示されています。このインターフェイスを使用して B スプラインの一部を経験できます。以下が B スプラインの最も重要な特性であり、これが名前に「B」という文字が入っている理由でもあります。

与えられた次数の (一変量) 区分的多項式の各空間が B スプラインで構成された基底 (Basis) をもつ。

B スプラインのプロパティ

B_j,k は区間 $$(t_j,t_{j+k})$$ でのみ非ゼロになるため、B スプライン係数に対する線形システムは帯状になり、解きやすくなります。たとえば、i=1, ..., n に対して s(x_i)=y_i となるように、節点シーケンス t₁ ≤ t₂ ≤··· ≤ t_n+k を使用して次数 k のスプライン s を作成するには、次のように線形システムを使用します。

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{j=1}^n{B}_{j,k}}\left(x_i\right)a_j=y_i& i=1:n\end{array}$$

これは不明な B スプライン係数 a_j を表し、各方程式に最大の k 非ゼロ入力があります。

また、スプラインに関する多くの理論事項は、B スプラインで最も簡単に記述または実証されます。たとえば、すべての j に対して B_j,k(x_j)≠0 である場合に限り (Schoenberg-Whitney 条件)、節点シーケンス (t₁, ..., t_n+k) を使用して次数 k のスプラインで一意にサイト $$x_1<\cdots <x_n$$ の任意のデータと一致させることができます。B スプラインでの計算には、その安定した再帰関係を使用すると便利です。これは、B 型から pp 型への変換にも役立ちます。この双対関数を示します。

$$a_j\left(s\right):={\displaystyle \sum _{i<k}{\left(-D\right)}^{k-i-1}{\Psi }_j\left(\tau \right)}{D}^{i}s\left(\tau \right)$$

は、t_j と t_j+k との間の任意のサイト τ において ψ_j(t):=(t_j+1–t)··· (t_j+k–1–t)/(k–1)! の場合の値および微分について、スプライン s の j 番目の B スプライン係数で役に立つ式を示します。これは、a_j(s) が区間 [t_j..t_j+k] において s と密接に関係していることを示し、pp 型から b 型への変換の最も効率のよい方法と考えられます。

変分アプローチと平滑化スプライン

上記の "構造的" アプローチの他にもスプラインを得る方法はあります。"変分" アプローチでは、スプラインが "最適な内挿"、たとえば特定のサイトにおける、一致するすべての指定関数値の中で最も小さい m 次導関数をもつ関数として得られます。結局、それらの使用可能な多くのスプラインの中で、区分的多項式または (おそらく) 区分的指数のスプラインのみが多く使用されます。実際特に関心が高いのは、"平滑化スプライン" s = s_p です。この場合、x∊[a..b]、すべての i および対応する正の重み w_i を使用する特定のデータ (x_i,y_i) および特定の "平滑化パラメーター" p に対して、最小化を行います。

$$p{\displaystyle \sum _i{w}_i}{\left|y_i-f\left(x_i\right)\right|}^2+\left(1-p\right){\displaystyle {\int }_a^b{\left|D^{m}f(t)\right|}^{2}dt}$$

上記は m 階微分を持つすべての関数 f に対して行われます。これで、平滑化スプライン s は、すべてのデータ サイトにブレークを持つ次数 2m のスプラインであることがわかります。平滑化パラメーター p が適切に選択され、以下の "誤差測定" を

$$E\left(s\right)={\displaystyle \sum _i{w}_i{\left|y_i-s\left(x_i\right)\right|}^2}$$

小さくし、以下の "粗さ測定" を

$$F\left(D^{m}s\right)={\displaystyle {\int }_a^b{\left|D^{m}s\left(t\right)\right|}^{2}dt}$$

小さくするという要求間の適切なバランスが保たれます。必要なのは、s のデータに含まれる情報をできる限り多くし、推定されるノイズをできる限り少なくすることです。このためのアプローチの 1 つ (spaps で使用される) は、E(f) を指定された許容誤差よりも大きくしないという条件に従って、F(D^mf) をできる限り小さくすることです。計算上、spaps は (等価の) 平滑化パラメーター ρ=p/(1–p) を使用します。つまり、ρE(f) + F(D^mf) を最小化します。これは柔軟性の高い粗さ測定を使用する場合にも役に立ちます。

$$F\left(D^{m}s\right)={\displaystyle {\int }_a^b\lambda \left(t\right){\left|D^{m}s(t)\right|}^{2}dt}$$

ここでは、λ に適切な正の重み関数を使用します。

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