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gfconv

ガロア体上の多項式を乗算

構文

c = gfconv(a,b)

c = gfconv(a,b,p)

c = gfconv(a,b,field)

c = gfconv(polys)

c = gfconv(polys,p)

c = gfconv(polys,field)

説明

c = gfconv(a,b) は、GF(2) 多項式の係数を昇べきの順に指定する行ベクトルを返します。返されるベクトルは、GF(2) 多項式の a と b の乗算結果です。結果の GF(2) 多項式 c の多項式次数は、a の次数と b の次数を足したものと等価です。

詳細については、ヒントを参照してください。

c = gfconv(a,b,p) は、2 つの GF(p) 多項式を乗算します。ここで、p は素数です。a、b、および c は同じガロア体にあります。a、b、および c は、昇べきの順の係数をもつ多項式です。各係数の範囲は、[0, p–1] です。

c = gfconv(a,b,field) は、2 つの GF(p^m) 多項式を乗算します。ここで、field は GF(p^m) のすべての要素の m 組を含む行列です。p は素数、m は正の整数です。a、b、および c は同じガロア体にあります。

この構文では、各係数は指数形式で指定されます。具体的には、[-Inf, 0, 1, 2, ...] の形式です。指数形式の要素は、GF(p^m) の原始元 α に対応する field 要素 [0, 1, α, α², ...] を表します。

c = gfconv(polys) は、GF(2) 多項式の係数を昇べきの順に指定する行ベクトルを返します。返されるベクトルは、polys で指定された GF(2) 多項式の乗算結果です。結果の GF(2) 多項式 c の多項式次数は、polys に含まれる多項式の次数の合計と等しくなります。polys で多項式を文字ベクトルの cell 配列または string 配列として指定する場合は、この構文を使用します。

c = gfconv(polys,p) は、polys で指定された GF(p) 多項式を乗算します。ここで、p は素数です。polys と c は、係数を昇べきの順に含む多項式です。各係数の範囲は [0, p–1] です。a、b、および c は同じガロア体にあります。

c = gfconv(polys,field) は、polys の GF(p^m) 多項式を乗算します。ここで、field は GF(p^m) のすべての要素の m 組を含む行列です。p は素数、m は正の整数です。a、b、および c は同じガロア体にあります。

この構文では、各係数は指数形式で指定されます。具体的には、[-Inf, 0, 1, 2, ...] の形式です。指数形式の要素は、GF(p^m) の原始元 α に対応する field 要素 [0, 1, α, α², ...] を表します。

例

GF(2) 多項式の乗算

$1+2\mathit{x}+{3\mathit{x}}^2+{4\mathit{x}}^3$ と $1+\mathit{x}$ を 3 回乗算します。多項式を行ベクトル、文字ベクトル、および string として表します。

c_rv = gfconv([1 1 0 1],[1 1])

c_rv = 1×5

     1     0     1     1     1

c_cv = gfconv('1 + x + x^3','1 + x')

c_cv = 1×5

     1     0     1     1     1

c_s = gfconv("1 + x + x^3","1 + x")

c_s = 1×5

     1     0     1     1     1

この結果は、$1+{\mathit{x}}^2+{\mathit{x}}^3+{\mathit{x}}^4$ に対応します。

GF(3) 上の多項式の乗算

ガロア体 GF(3) 上の $$1+x+x^4$$ と $$x+x^2$$ を乗算します。

gfc = gfconv([1 1 0 0 1],[0 1 1],3)

gfc = 1×7

     0     1     2     1     0     1     1

この結果は、$$x+2x^2+x^3+x^5+x^6$$ に対応します。

体の入力を使用した GF(2^4) 上の多項式の乗算

ガロア体 GF($2^4$) の $1+2\mathit{x}+{3\mathit{x}}^2+{4\mathit{x}}^3+{5\mathit{x}}^4$ および $1+\mathit{x}$ を乗算します。

field = gftuple([-1:2^4-2]',4,2);
c = gfconv('1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4','1 + x',field)

c = 1×6

     2     6     7     8     9     6

関数gfprettyを使用して、結果を多項式型で表示します。

gfpretty(c)

 
                                   2      3      4      5
                      2 + 6 X + 7 X  + 8 X  + 9 X  + 6 X 

cell 配列として指定された GF(2) 多項式の乗算

乗算すると $\mathit{t}=3$ の DVB-S2 生成多項式になる、3 つの多項式を含む cell 配列を作成します。

polyCell = {'1 + x + x3 + x5 + x14', ...
    '1 + x6 + x8 + x11 + x14','1 + x + x2 + x6 + x9 + x10 + x14'};
gp = gfconv(polyCell); % DVB-S2 for t=3

関数gfprettyを使用して、結果を多項式型で表示します。

gfpretty(gp)

 
     4    6    8    10    11    13    16    17    20    24    25    26    27
1 + X  + X  + X  + X   + X   + X   + X   + X   + X   + X   + X   + X   + X  
 
              30    31    32    33    34    35    36    37    38    39    42
           + X   + X   + X   + X   + X   + X   + X   + X   + X   + X   + X  

体の入力を使用した GF(2^4) の string として表された多項式の乗算

ガロア体 GF($2^4$) の $1+2\mathit{x}+3{\mathit{x}}^2+4{\mathit{x}}^3+5{\mathit{x}}^4$、$1+\mathit{x}$、および $1+{\mathit{x}}^3$ を乗算します。

field = gftuple((-1:2^4-2)', 4, 2);
c = gfconv(["1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4","1 + x","1 + x3"],field)

c = 1×9

     4    13    14     9     2     1     7     8     8

関数gfprettyを使用して、結果を多項式型で表示します。

gfpretty(c)

 
                          2      3      4    5      6      7      8
           4 + 13 X + 14 X  + 9 X  + 2 X  + X  + 7 X  + 8 X  + 8 X 

入力引数

a — ガロア体の多項式

行ベクトル | 文字ベクトル | string

ガロア体の多項式。行ベクトル、文字ベクトル、または string として指定します。a は、Communications Toolbox での多項式の表現または数値ベクトルのいずれかにできます。

a と b は、両方とも GF(p) 多項式または GF(p^m) 多項式でなければなりません。ここで、p は素数です。p の値は、含まれている場合は指定された値、省略されている場合は 2 になり、field が指定されている場合は暗黙的に決まります。

例: [1 2 3 4] は、行ベクトルとして表された GF(5) の多項式 1+2x+3x²+4x³ です。

データ型: double | char | string

b — ガロア体の多項式

行ベクトル | 文字ベクトル | string

ガロア体の多項式。行ベクトル、文字ベクトル、または string として指定します。b は、Communications Toolbox での多項式の表現または数値ベクトルのいずれかにできます。

a と b は、両方とも GF(p) 多項式または GF(p^m) 多項式でなければなりません。ここで、p は素数です。p の値は、含まれている場合は指定された値、省略されている場合は 2 になり、field が指定されている場合は暗黙的に決まります。

例: '1 + x' は、文字ベクトルとして表された GF(2⁴) の多項式です。

データ型: double | char | string

p — 素数

2 (既定値) | 素数

素数。素数として指定します。

データ型: double

field — GF(p^m) のすべての要素の m 組

行列

GF(p^m) のすべての要素の m 組。行列として指定します。field は、同じ原始元に対応して配置された GF(p^m) のすべての要素をリストする行列です。GF(p^m) のすべての要素の m 組を生成するには、次を使用します。

field =gftuple([-1:p^m-2]',m,p)

指数形式で指定された係数は、GF(p^m) の体の元を表します。これらの形式の説明は、ガロア体の元の表現を参照してください。

データ型: double

polys — ガロア体の多項式のリスト

文字ベクトルの cell 配列 | string 配列

ガロア体の多項式のリスト。文字ベクトルの cell 配列または string 配列として指定します。

例: ["1+x+x3+x5+x14","1+x6+x8+x11+x14"] は多項式の string 配列です。

データ型: cell | string

出力引数

c — ガロア体の多項式

行ベクトル

ガロア体の多項式。昇べきの順に並べた多項式の係数の行ベクトルとして返されます。結果の GF(p^m) 多項式 c の多項式次数は、入力多項式の次数の合計と等しくなります。c は、入力多項式と同じガロア体にあります。

ヒント

• 関数 gfconv は、GF(p^m) の計算を行います。ここで、p は素数、m は正の整数です。この関数は、ガロア体上の多項式を乗算します。GF(2^m) で実行するために、ガロア配列に対して gf オブジェクトの関数 conv を使用することもできます。詳細については、多項式の乗算と除算を参照してください。

• ガロア体の要素を乗算するには、gfconv の代わりに gfmul を使用します。代数的には、ガロア体上の多項式の乗算は、多項式の係数を含むベクトルの畳み込みと等価です。この畳み込み操作では、同じガロア体上の演算が使用されます。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

関数

• gfdeconv | gfadd | gfsub | gfmul | gftuple | gfpretty

トピック

• Communications Toolbox での多項式の表現
• ガロア体の元の表現
• 多項式の乗算と除算